1.9 相量和相量代数

相量（Phasor） 定义为“以极坐标形式表示的复数，可用于分析电路”。它是一种矢量量。在这种矢量表示中，我们使用笛卡尔平面。

Y轴以虚数形式表示波形的幅度和相位角，X轴则表示实数，例如波形的周期。波形的幅度通常以均方根（RMS）电压来衡量。因此，在相量表示中，我们表示的是均方根电压。

相量总是沿着波形的相位逆时针方向旋转。在相量的复数表示中，包含了波形的幅度和相位角。

复数由实数和虚数组成。让我们更清楚地了解这一点。

实数：相量复数中的实数表示信号的幅度或幅值，也可以理解为矢量的长度。
虚数：虚数表示波形的相位角。相量在复平面上的旋转范围是交流正弦波信号的0到2π。当幅度和相位角发生变化时，相量在X和Y坐标之间旋转。如果我们将实部和虚部的值互换，可能会得到错误的值，从而影响整个系统的分析。

相量定义

每个交流波形在其完整的旋转周期中都有一个正半周期和一个负半周期，与坐标轴相对应。当然，相量也仅在坐标平面中表示波形的特性。波形的一个完整旋转周期的相位为2π或360°。在相量中，我们用一个旋转的矢量表示瞬时电压（或幅值），如下图所示。

在上图中，线段A表示波形的最大幅值，线段I表示相量矢量表示中点P处的幅值。矢量在坐标轴上表示从0°到360°的值，随时间的不同瞬间而变化。

矢量同时表示波形的幅度和相位。幅度沿垂直轴表示，波形的相位沿水平轴表示。波形的相位可以用度或弧度来表示。

相位差（Phase Difference）

当我们分析两个波形或单个波形的两个特性时，我们需要在同一坐标平面中比较这两个波形。然后，我们需要分析每个波形在每个位置的情况。例如，在比较波形的电压和电流时，我们用相同的坐标轴表示它们，如下图所示。

假设一个电路中有电压和电流，用于我们的分析。在这里，波形“I”表示电流特性，波形“v”表示电压特性。两个波形的相位差用“θ”表示。电流波形以θ的相位差超前于电压波形。表示电压和电流的数学公式如下：

$V_t = V_m \sin(\omega t)$ $I_t = I_m \sin(\omega t - \Phi)$

其中 $V_m$ 是最大电压，$\Phi$ 是相位角。

正弦波形的相量图（Phasor Diagram of Sinusoidal Waveform）

绘制相量图时，我们需要遵循一些规则：相量矢量总是逆时针方向旋转，波形的零相位在正X轴上表示。

相量图对应于波形的相位和幅度。我们在X轴上表示周期或相位角，在Y轴上表示幅度。相量矢量的长度与任何时间瞬间的电压或电流值成正比。

正如我们已经知道的，在电阻的情况下，电压波和电流波之间没有相位差。但在电感的情况下，电流相量滞后于电压相量 $\Phi$ 的相位角，这两个相量逆时针方向旋转。

这是因为电压在负坐标方向上滞后，因此相位角也以逆时针方向测量。

如果我们把电压和电流相量停在30°的角度上，那么相量矢量将如下图所示。

由于这两个波形具有相同的频率，它们将始终保持相同的相位差。因此，即使在30°的角度上，我们也可以观察到电流相量滞后于电压相量。换句话说，电压相量超前于电流相量。

但是，要判断一个相量是超前还是滞后于另一个相量，首先我们需要将两个相量中的一个作为参考。基于此，我们才能判断超前或滞后的相量。

相量代数（Phasor Algebra）

每个相量在其X轴和Y轴上都有幅度和角位移或相位差。如果我们要对这些相量进行数学运算，如加法、减法、乘法或除法，首先我们需要将矢量分解为其矢量分量，例如X分量：$V_A \cos \phi$ 和Y分量：$V_A \sin \phi$，使用三角函数的基本知识。

相量加法（Phasor Addition）

要分析两个或多个波形，我们需要将波形的相量相加或相减。如果我们在分析交流电路时，同相波形之间没有相位差，而非同相波形的相位差以 $\Phi$ 度或弧度来衡量。

例如，如果两个电压波形分别为25伏和32伏，且具有相同的频率，假设它们是同相的。我们可以通过相加这两个电压来找到电压之和，结果为57伏。

如果两个电压具有不同的相位，即波形是非同相的，那么我们不能直接将它们相加以找到总电压。这是因为这两个波形具有不同的方向。

在这种情况下，我们可以通过矢量方法将两个波形相加，以找到交流电路的总电压。这被称为“矢量和”或“结果相量”，使用一种称为“平行四边形法则”的三角定律。

两个相量的加法

让我们通过一个例子来了解相量加法。

假设一个交流电路有两个电压波形，分别为20伏和30伏，分别记为 $V_1$ 和 $V_2$。如果电压波 $V_1$ 以60°的相位超前于 $V_2$，让我们通过相量加法或矢量加法方法找到交流电路的总电压。

首先，我们需要绘制两个电压矢量的相量图，形成一个平行四边形，如下图所示。

接下来，我们按照正常的加法方法计算电压之和 $V_1 + V_2$，然后找到对角线的长度。这被称为“结果矢量”或“r矢量”，用 $V_T$ 表示。它从原点（零）画到两个电压相量的交点，例如OA。

尽管相量加法的图形方法可以为我们提供关于电路的准确结果，但绘制和按比例缩放所有电压矢量需要花费很多时间。如果这些相量没有准确绘制，我们可能会得到交流电路的错误报告。因此，我们需要采用解析方法。

在相量加法中，我们需要考虑它们的垂直和水平方向，将电压相量相加。使用正弦分量和余弦分量的方法称为“矩形形式法”。

在这种方法中，相量复数 $Z = a \pm jb$ 被分为两部分，一部分是虚部，另一部分是实部。

复正弦波的定义（Definition of a Complex Sinusoid）

在解析方法中，电压的幅度表示为：

$V_m = V_m \cos(\Phi) + j V_m \sin(\Phi)$

矢量加法如下：

如果第一个矢量是 $V_1 = a + jb$，第二个矢量是 $V_2 = x + jy$，那么结果矢量和为：

$V_r = V_1 + V_2 = (a + x) + j (b + y)$

矩形形式下的相量加法（Phasor Addition Using Rectangular Form）

第二个矢量的电压在水平方向上为30伏，在垂直方向上为0。因此，其实部和虚部可以表示为：

水平分量 = $30 \cos 0^\circ = 30$ 伏
垂直分量 = $30 \sin 0^\circ = 0$ 伏

因此，第二个矢量 $V_2$ 的复数形式为 $V_2 = 30 + j0$。

同样地，第二个矢量的电压在水平方向上为20伏，由于它在垂直方向上以60°的相位超前于电压，因此其实部和虚部可以表示为：

水平分量 = $20 \cos 60^\circ = 20 \times 0.5 = 10$ 伏

垂直分量 = $20 \sin 60^\circ = 20 \times 0.866 = 17.32$ 伏

因此，电压 $V_1$ 的复数形式为 $V_1 = 10 + j17.32$。

总电压 $V_T$ 可以通过将水平分量和垂直分量相加来计算。即：

水平分量 $V_{\text{Horizontal}}$ = $V_1$ 和 $V_2$ 的实部之和 = 30 + 10 = 40 伏

垂直分量 $V_{\text{Vertical}}$ = $V_1$ 和 $V_2$ 的虚部之和 = 0 + 17.32 = 17.32 伏

现在，可以使用勾股定理计算结果矢量 $V_T$ 的大小。

结果矢量 $V_T$ 如下图所示。

相量减法（Phasor Subtraction）

正如我们之前提到的，我们可以对相量进行加法、减法、乘法、除法等各种数学运算。我们已经学习了如何将两个相量相加并找到结果矢量。现在，让我们来看一下两个相量的减法。

相量或相量矢量的减法与矢量的加法非常相似。在矢量减法中，两个矢量 $V_1$ 和 $V_2$ 的差是平行四边形的对角线。如下图所示。

矢量减法如下：

如果第一个矢量是 $V_1 = a + jb$，第二个矢量是 $V_2 = x + jy$，那么结果矢量差为：

$V_r = V_1 - V_2 = (a - x) + j(b - y)$

三相相量表示（3 Phase Phasor Representation）

我们已经学习了单相交流线圈产生的正弦波，即单相正弦波。现在，我们在电子电力传输中使用最多的另一种相位是“三相”。我们在日常生活中经常遇到这个词。现在让我们来看看三相到底是什么意思？

在单相中，只有一个线圈或导线在磁场中旋转，但在三相中，将有三个轴在磁场中旋转，它们之间的夹角为120°，并且连接到同一个轴上。这3个线圈的匝数相同。因此，我们可以这样说，由连接到同一个（相同）转子的三个线圈产生的电流，它们之间的夹角为120°，称为“三相电流”。

三相电压源将具有3个具有相同频率和幅度（幅值）但相位不同的独立正弦波电压。为了更轻松地理解和识别三相概念，我们用不同的颜色表示这三个相量。

与单相相量一样，三相相量也以角速度 $\omega$ 弧度/秒逆时针方向旋转。

如下图所示为三相平衡相量的三角形连接。

三相平衡系统的条件（Requirements for 3 Phase Balanced System）

要使三相系统达到平衡，我们需要根据以下条件设置这3个正弦波：

I. 所有3个变量应具有相同的幅度。

II. 所有3个变量应具有相同的幅度。

III. 所有3个变量应在相位上相差120°。

三相正弦波表示如下图所示。

从上图可以看出，相位为‘a’（蓝色）的波形与相位为‘b’（紫色）的波形不同相，而该波形又与第三个相位为‘c’（绿色）的波形不同相。

这3个波形之间的相位差为120°。这些波形可以表示交流电路中的电流或电压。

三相电压方程（3 Phase Voltage Equations）**

这3个波形的电压表示为：

$V_a = \sqrt{2} V_m \cos(\omega t + \Phi)$ $V_b = \sqrt{2} V_m \cos(\omega t + \Phi - 120^\circ)$ $V_c = \sqrt{2} V_m \cos(\omega t + \Phi - 240^\circ) = \sqrt{2} V_m \cos(\omega t + \Phi + 120^\circ)$

简单来说，相位“b”比相位“a”滞后120°，而相位“c”比相位“b”滞后120°。

总结（Summary）

让我们总结一下相量图和相量代数的概念。

• 以极坐标形式表示的复数是“相量”。幅度沿Y轴用实数表示；周期或相位沿X轴用虚数表示。
• 相量总是逆时针方向旋转。
• 相量可以在任何时间瞬间表示两个或多个正弦量的幅度和周期，以及它们的旋转方向。
• 相量矢量的长度表示波形的均方根速度。
• 我们使用相量来表示电压、电流波形的相位，并分析电路。
• 相量是矢量量，仅适用于正弦波。
• 在任何相量图中，所表示的波形应具有相同的频率和相同的幅度。
• 如果波形之间的相位差为零，则称这些波形为“同相”。
• 如果波形之间存在相位差 $\Phi$，则称它们为“不同相”。
• 我们可以通过找到给定矢量的结果矢量，对相量矢量进行各种数学运算。
• 通过加法或减法得到的两个矢量的结果矢量称为“结果矢量”，用“ $V_r$ ”表示。
• 在矢量加法中，结果矢量表示为 $V_r = V_1 + V_2 = (a + x) + j(b + y)$。
• 在矢量减法中，结果矢量表示为 $V_r = V_1 - V_2 = (a - x) + j(b - y)$。
• 三相矢量表示将有3个相量，分别表示同一导体的3个旋转线圈。
• 在三相系统中，这3个矢量（波形）彼此之间相位相差120°。