1.6 AC波形的平均电压

在交流电（AC）中，计算像电流或电压这样的交流量的大小并不像在直流电（DC）中那样直接，因为直流电中的值是随时间恒定的。有几种方法可以表示交流波形的大小。对于交流正弦波形，电压和电流的大小可以用以下方式表示：

• 峰值
• 峰-峰值
• 均方根（RMS）值
• 瞬时值

（这些值也可以用来表示任何其他周期性波形的大小）

还有另一种表示交流波形大小的方法，称为平均值。

交流正弦波的平均电压和平均电流的值在许多电路分析操作中都非常有用。事实上，整流器型万用表会测量交流电的平均电压，然后在此基础上进行一些计算，并将输出显示为均方根（RMS）值。

什么是交流波的平均值？

交流波（特别是正弦波）的平均值指的是一个完整周期内波形的算术平均值。它是通过积分一个周期内曲线下的面积并除以该周期的时间来计算的。对于一个纯正弦波，由于在零轴上方和下方的面积相等，一个完整周期内的平均值为零。然而，对于半波整流信号，平均值为正，表示曲线下的净面积。

平均电压

顾名思义，平均电压是一个交流正弦波（或任何其他周期性）波形的半周期内，在适当的时间间隔内选取的瞬时电压的平均值。平均值表示交流波形下面积相对于时间的商。

为了找到交流波形的平均电压，一个半周期被分成等间距的纵坐标。计算这些中点的瞬时电压。通过计算这些瞬时电压值的平均值，我们得到交流波形（无论是电压还是电流）的平均值。

确定交流波形的平均电压值类似于寻找交流波形的RMS电压。但在寻找平均电压的过程中，不需要找到瞬时电压的平方。我们可以找到任何形状波形的平均电压值。

平均电压值可以被描述为“在任何时间点曲线（无论是正弦波、方波还是其他任何周期性波）下的面积的商”，或者我们也可以这样说：“所有瞬时电压值的平均值被称为平均电压”。

每个周期性波形在形状上都是对称的，即存在正半周期和负半周期。正半周期下的面积总是与负半周期下的面积在符号上相等且相反。

由于负半周期和正半周期下的面积相互抵消，两个半周期下的面积之和返回为零。因此，平均值是通过考虑半个周期来计算的。

平均电压值仅在一个完整周期性波形的半个周期内进行测量。平均电压也被称为“波形的平均电压”。

平均值可以用于交流和直流电路的分析和计算。平均电压用 $V_{\text{AVG}}$ 表示，平均电流用 $I_{\text{AVG}}$ 表示。

瞬时值的概念

交流波形的瞬时值（无论是电压还是电流）是在任何特定瞬间的值。给定瞬间的波形电压被称为“瞬时电压”。

在上图中，$V_1, V_2, V_3, V_4 \ldots$ 是正弦波的瞬时电压。为了找到正弦波的瞬时电压值，我们依赖于正弦波的最大电压。

$\text{瞬时电压} = \text{最大电压} \times \sin \theta$ $V_{\text{INST}} = V_{\text{MAX}} \times \sin \theta$

这里，$\theta$ 是中点所成的角度。例如，在交流正弦波的情况下，正半周期的最大角度为 $180^\circ$。如果我们把半周期分成10个中点，那么 $\theta$ 将是 $180^\circ / 10 = 18^\circ$ 的倍数，即 $\theta$ 取 $18^\circ, 36^\circ, 54^\circ \ldots$ 直到 $180^\circ$。

用图解法计算波形的平均电压

对于像正弦波这样的交流波形，当取完整周期时，其平均值等于0。这是因为正弦波是一个交流波，即它在X轴上是对称的，正半周期的值在取平均时会抵消负半周期的值。

但在实际中，正弦波电压和电流的平均值不能为0。因此，可以通过取交流波形半周期内等间距瞬时值的平均值来计算交流值的平均值。

这个过程类似于寻找RMS电压的过程。正半周期被等分成 $n$ 个部分，这些部分之间有相等的间隔。这些等分的部分被称为“中点”，每个部分的商值被称为“瞬时值”。

将交流波形的每个中点值与其下一个中点的值相加，然后将总和除以中点的总数。这就是平均电压的值。平均电压由以下公式给出：

例如，如果我们将半周期分成10个等间距的中点，那么平均电压可以这样计算：

如果我们考虑一个代表交流电压的交流波，其最大电压为340伏特，那么平均电压可以这样计算：

将曲线分成10个中点，并计算这些点的瞬时电压。

使用上述公式，平均电压可以这样计算：

因此，平均电压值为214.6伏特。

用解析法计算波形的平均电压

正如我们已经知道的，每个周期性波形都有其平均值为零，因为它有相等的正半周期和负半周期部分。平均值可以通过只考虑半周期的瞬时值而不是所有瞬时值来计算。

这仅适用于像正弦波这样的对称波形。在非对称电压中，我们应该计算周期性波形完整周期内瞬时电压的平均值，以找到准确的值。

近似面积

为了找到平均值，我们需要在多个间隔处计算波形或曲线下的近似面积。为了找到曲线下的面积，它被分成许多小矩形或三角形。通过近似这些单独矩形的面积，并将所有这些面积相加，可以计算出平均值。

通过考虑无限（非常大）数量的小矩形，可以提高平均值的准确性。下图表示在波形的等间隔处，用小矩形覆盖的曲线下的面积的平均值。

通过计算曲线下的面积的平均值，我们可以找到平均电压值的确切值。当值接近 $2\pi$ 时，将得到最准确的值。

有许多方法可以近似曲线下的面积值。它们包括梯形法则、中点法则、辛普森法则等。如果我们考虑一个交流电压正弦波，它表示为 $V(t) = V_p \cos(\omega t)$。曲线下的面积在每个瞬间数学上给出为：

$\text{面积} = \int V_p \sin(\omega t) \, dt$

这里，$T$ 是周期性波形的周期，积分的上下限为0和 $\pi$，因为我们只考虑半周期。

使用上述公式，我们可以计算出曲线下的面积，并得到：

$\text{面积} = 2V_p$

现在，我们知道正半周期（或负半周期）下的面积，我们可以通过在正（或负）周期上积分正弦量并除以周期，轻松计算周期性交流正弦波的平均值（电压或电流）。

例如，如果我们有交流波的瞬时电压为 $V = V_p \sin \theta$，周期为 $2\pi$，那么交流波形的平均电压为：

$V_{\text{AV}} = \frac{1}{\pi} \int V_p \sin(\phi) \, d\phi$ $V_{\text{AV}} = \frac{V_p}{\pi} \left[ -\cos(\phi) \right]_0^\pi$ $V_{\text{AV}} = \frac{2V_p}{\pi} = 0.637 V_p$

平均电压公式

交流波形的平均电压值由下式给出：

$V_{\text{AV}} = \frac{2V_p}{\pi} = 0.637 V_p$

因此，交流正弦波的平均值等于峰值电压与 0.637 的乘积。正如前面讨论的例子，如果我们有一个最大（峰值）电压为 340 伏特的正弦波，那么通过解析方法计算得到的平均电压值如下所示：

$V_{\text{AV}} = V_{\text{PEAK}} \times 0.637 = 340 \times 0.637 = 216.5 \, \text{V}$

均方根（RMS）电压值与峰值电压的关系为 $V_{\text{RMS}} = 0.707 \times V_{\text{PEAK}}$。平均电压与 RMS 电压的比较如下图所示。

注意：将峰值乘以 0.637 仅适用于正弦波，不适用于锯齿波和三角波等其他波形。

交流正弦波形测量中平均值的重要性

整流器型万用表仅对正弦波显示均方根（RMS）值（电压或电流）。RMS 值是通过先计算平均值，然后乘以 1.11 得到的。如果使用这种万用表测量其他交流波形的 RMS 值，结果将是错误的。

总结

周期性改变方向的波形被称为“交流波形”或“AC 波形”。

寻找交流波形的 RMS 值和平均值的程序是相似的。

我们通过考虑交流波形的半个周期来计算平均值。

计算交流波形或交流波形平均值有两种方法，分别是：

1. 解析方法

2. 图解方法

对于图解方法，计算平均电压的公式为：

$V_{\text{AVG}} = \frac{\sum V_{\text{INST}}}{n}$

对于解析方法，平均电压值的公式为：

$V_{\text{AVG}} = \frac{2 V_{\text{PEAK}}}{\pi} = 0.637 V_{\text{PEAK}}$

平均电压与最大电压值（或峰值电压值）之间的关系为“平均电压是峰值电压的 0.637 倍”。

$V_{\text{AVG}} = V_{\text{PEAK}} \times 0.637$