1.13 交流电容

每当两块导电板被绝缘介质（或电介质）分隔开时，就形成了一个电容器。电容器的基本特性是存储电荷。如果将一个电压源连接到电容器两端，两个极板会分别获得相反的电荷，即一个极板积累正电荷，另一个极板积累负电荷。

这会导致电子从一个极板流向另一个极板，直到电容器两端的电压等于施加的电压。电容器两端电压的变化率决定了通过电容器的电流。

电容器与电阻和电感一起，可用于构建许多电子应用中的复杂交流电路。下面我们简要讨论带有电容的交流电路的行为。

交流电容电路是什么？

交流（AC）电容电路是包含电容元件并使用交流电运行的电路。电容器是被动电子元件，它们以电场的形式在两个由绝缘材料（称为电介质）分隔的导电板之间存储和释放电能。

交流电压施加于纯电容器

当一个纯电容器连接到交流电源时，施加电压的变化会导致电容器交替地充电和放电。通过电容器的电荷与电容器的电容（电容器的大小）和施加到电容器两端的电压成正比。它可以表示为：

$Q = C V$ $V = \frac{Q}{C}$

其中：

• $V$ 为施加的电压，单位为伏特；
• $Q$ 为电容器上的电荷，单位为库仑；
• $C$ 为电容器的电容，单位为法拉。

考虑上述电路，其中纯电容器连接到一个交流电压源 $v = V_m \sin \omega t$。电压源导致电流通过电路流动。电路中的电流与电容器上电荷随时间的变化率成正比。

电路中的电流 $i = \frac{d(q)}{dt}$。

将 $q = C v = C V_m \sin \omega t$ 代入上述方程，我们得到：

$i = \frac{d}{dt} (C V_m \sin \omega t) = \omega C V_m \cos \omega t$

或者

$i = \omega C V_m \sin (\omega t + \frac{\pi}{2})$

当 $\sin (\omega t + \frac{\pi}{2})$ 为1时，电流将达到最大值，即：

$i_m = \omega C V_m$

将这个电流值代入，我们得到：

$i = i_m \sin (\omega t + \frac{\pi}{2})$

从上述方程可以看出，在纯电容电路中，电流比电压超前90°。这意味着当纯电容器连接到交流电源时，当电压变化率最大（在零电压位置）时，通过电容器的电流最大。随着电压变化率减小，电流也会减小。

换一种说法，由于电容器处于放电状态，当电容器两端的电压开始增加时，电路中的电流最大。

当电容器完全充电到最大电压值时，充电电流会逐渐减小到零。当电压开始下降时，电容器开始充电。因此，电压和电流之间的关系是相位差为90度。

因此，电容器电流比施加的电压超前90度角。交流电容电路的相量图如下所示。

电容电抗

从上述推导中，最大电流方程为：

$i_m = \omega C V_m$ $\frac{V_m}{i_m} = \frac{1}{\omega C}$

这个电压与电流的比值是电容电路对电流流动的阻碍。这个 $\frac{1}{\omega C}$ 量被称为电容电抗，用 $X_C$ 表示，单位为欧姆。

交流电路中的电容电抗可以表示为：

$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{2\pi f C}$（因为 $\omega = 2\pi f$）

其中：

• $X_C$ 是电容电抗，单位为欧姆；
• $f$ 是电源电压的频率；
• $C$ 是电容器的电容，单位为法拉。

从上述方程可以看出，交流电路中电容器的电容电抗是频率和电容的函数。随着频率的增加，电容电抗减小，这使得通过电路的电流增加。

同样，频率的减小会增加电抗，从而导致电流减小。电容电抗与频率的关系如下图所示。

电容交流电路中的功率和功率因数

交流电路中的功率是瞬时电压与电流的乘积，可以表示为：

$P = v \times i$ $P = V_m \sin \omega t \times I_m \sin (\omega t + 90^\circ)$

在一个周期内进行积分，我们得到：

$P = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} V_m \sin \omega t \times I_m \sin (\omega t + 90^\circ) \, d\omega t$ $= \frac{V_m I_m}{2\pi} \int_0^{2\pi} \sin \omega t \cos \omega t \, d\omega t$ $= \frac{V_m I_m}{4\pi} \int_0^{2\pi} \frac{\sin 2\omega t}{2} \, d\omega t$ $= \frac{V_m I_m}{8\pi} (-\cos 4\pi + \cos 0)$ $= \frac{V_m I_m}{8\pi} (-1 + 1)$ $P = 0$

因此，与电感电路类似，纯电容电路吸收的功率为零，因为每个半周期吸收和返回的功率相同。下图显示了交流电容电路的电压、电流和功率波形。

在功率波形的正半周期间，电容器充电时存储能量。而在负半周期间，电容器放电时将存储的能量返回给电源。可以看出，两个周期的面积相等，因此电路吸收的平均功率为零。

在这个纯电容电路中，电压和电流波形之间存在90°（超前）的相位差。因此，功率因数为：

功率因数 $\cos \theta = \cos 90^\circ = 0$

因此，纯电容电路的功率因数为零超前，即纯超前功率因数。

串联RC电路

这种电路与串联RL电路类似，但用电容器代替了电感。在下图中，电阻和电容器的串联组合连接到交流电源上。

电阻上的电压降与电流同相，而电流比电容器上的电压降超前90°，如下图所示。

电阻上的电压降 $V_R = IR$；

纯电容器上的电压 $V_C = I \times X_C$（其中 $X_C = \frac{1}{2\pi f C}$）。

因此

$V = \sqrt{V_R^2 + V_C^2} = \sqrt{(IR)^2 + (I X_C)^2}$ $= I \sqrt{R^2 + X_C^2} = IZ$

其中 $Z$ 是串联RC电路的阻抗，等于 $\sqrt{R^2 + X_C^2}$。

阻抗三角形

从串联RC电路的相量图可以看出：

$\tan \phi = \frac{V_C}{V_R} = \frac{X_C}{R}$ $\cos \phi = \frac{V_R}{V} = \frac{R}{Z}$ $\sin \phi = \frac{V_C}{V} = \frac{X_C}{Z}$

从阻抗三角形可以看出，串联RC电路中的 $R$、$X_C$ 和总阻抗可以表示为：

$R = Z \cos \phi$ $X_C = Z \sin \phi$ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$

并且 $\phi = \tan^{-1} \left( -\frac{X_C}{R} \right)$

串联RLC电路

在这种电路中，电阻、电感和电容器的串联组合连接到交流电源上。根据电容和电感电抗的组合结果，电路将表现为RL或RC电路。通过从较大的电抗中减去较小的电抗，可以得到总电抗。

电阻上的电压 $V_R = IR$；

电感上的电压 $V_L = I X_L$；

纯电容器上的电压 $V_C = I X_C$。

该电路的相量图取决于 $X_L$ 和 $X_C$ 的值，我们来考虑这些电抗的不同取值情况。

(1) $X_L > X_C$

如果 $X_L > X_C$，则 $V_L (= I X_L)$ 大于 $V_C (= I X_C)$。因此，电路呈现感性，因为 $V_L$ 和 $V_C$ 的合成矢量指向 $V_L$。此时电路表现得像一个串联 RL 电路。

该电路的相量图取决于 $X_L$ 和 $X_C$ 的值，我们来考虑这些电抗的不同取值情况。

(1) $X_L > X_C$

如果 $X_L > X_C$，则 $V_L (= I X_L)$ 大于 $V_C (= I X_C)$。因此，电路呈现感性，因为 $V_L$ 和 $V_C$ 的合成矢量指向 $V_L$。此时电路表现得像一个串联 RL 电路。

因此，电源电压

$V = \sqrt{(V_R^2 + (V_L - V_C)^2)} = \sqrt{(IR)^2 + (I X_L - I X_C)^2}$ $V = I \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ $V = IZ$

其中 $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$

(2) $X_L < X_C$

如果 $X_L < X_C$ 或 $X_C > X_L$，则 $V_L (= I X_L)$ 小于 $V_C (= I X_C)$。因此，电路呈现容性，因为 $V_L$ 和 $V_C$ 的合成矢量指向 $V_C$。此时电路表现得像一个串联 RC 电路。

因此，电源电压

$V = \sqrt{(V_R^2 + (V_C - V_L)^2)} = \sqrt{(IR)^2 + (I X_C - I X_L)^2}$ $V = I \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$ $V = IZ$

其中 $Z = \sqrt{R^2 + (X_C - X_L)^2}$

(3) $X_L = X_C$

如果 $X_L = X_C$，则 $V_L = V_C$。在这种情况下，合成电压为零。因此，$V_R = V$。故电路表现为纯电阻性电路。

从相量图可得，

$V = V_R$ $V = I R$ $V = I Z$

其中 $Z = R$

例题

一个单相交流正弦电压 $v = 283 \sin 314t$ 连接到一个 100 µF 的纯电容器上。求通过电容器的电流。

将电压从时域转换为极坐标形式，可得

$v = 283 \sin 314t = 283 \angle 0^\circ$

电容电抗可计算为

$X_C = \frac{1}{j \omega C} = \frac{1}{314 \times 100 \times 10^{-6}} = 31.8 \angle -90^\circ$

根据欧姆定律，电路中的电流可表示为

$I_c = \frac{V}{j X_C}$ $I_c = \frac{283 \angle 0^\circ}{31.8 \angle -90^\circ}$ $I_c = 8.8 \angle +90^\circ$