跳到主要内容

1.11 交流电阻和阻抗

单向量，无论是电压还是电流，被称为直流（DC，Direct Current）量，其幅度随时间保持不变，因此也被称为时间不变量。另一方面，交变量是一种随时间变化的量，其幅度和极性在规律的时间间隔内周期性变化。

一个正弦量，例如电压，可以表示为：

V=Vmsin⁡(ωt+θ)V = V_m \sin(\omega t + \theta)

其中：

  • VV = 电压的瞬时值
  • VmV_m = 电压的最大值
  • ω\omega = 角速度 = 2πf2\pi f
  • θ\theta = 相位角

交流电路（AC Circuit）的基本元件包括电阻、电感和电容。交流电路使用这些元件（任意两个或三个）的串联和并联组合。

每个单独元件的电路操作与包含这些元件组合的电路是不同的。在本文中，我们将讨论带有电阻负载的交流电路的行为。

什么是交流电阻电路？​

交流（AC，Alternating Current）电阻电路是包含电阻元件并使用交流电运行的电路。与直流（DC，Direct Current）电路（电流持续单向流动）不同，在交流电路中，电流会周期性地改变方向，通常遵循正弦波形。

交流电压应用于纯电阻​

在这种情况下，纯电阻连接到交流电源，这相当于向电阻、灯泡、加热器或其他任何电阻负载供电的电路。这是最简单的交流电路类型，其中不包含任何电感或电容。

纯电阻电路的行为类似于直流电路，对交流电流提供与直流电流相同的阻抗。下图展示了带有电压和电流波形的交流电阻电路。

alt text

当交流电压施加到电阻负载上时，电路中的电流会随着施加的电压变化，该电流值可以通过欧姆定律计算。这个电流的大小取决于施加电压和电路中电阻的有效值。

假设电压的瞬时值为 v=Vmsin⁡ωtv = V_m \sin \omega t，

那么根据欧姆定律，电路中的电流为：

i=VR=Vmsin⁡ωtRi = \frac{V}{R} = \frac{V_m \sin \omega t}{R}

当 ωt=90∘\omega t = 90^\circ 时，电流 ii 的值为 ImI_m，因此 Im=VmRI_m = \frac{V_m}{R}。

因此，电流可以写为 i=Imsin⁡ωti = I_m \sin \omega t。

因此，电压和电流波形均为正弦波形，并且具有相同的频率。这意味着电流的方向与施加电压的变化方式相同，因此它们是同相的。

因此，电压和电流波形在相同的瞬间达到最大值和最小值。然而，这些波形的幅度彼此不同。

带有交流电阻电路的相量表示如下图所示，其中电流和电压波形是同相的。

alt text

功率和功率因数​

电阻电路中的功率是电压和电流的乘积。交流电阻电路中的平均功率可以计算为：

alt text
alt text

由于电压和电流波形之间没有相位差，相位角为零（θ=0\theta = 0），因此功率因数为1。

功率因数 cos⁡θ=cos⁡0∘=1\cos \theta = \cos 0^\circ = 1

示例 1
如果电路有一个280V的交流电压源和一个40欧姆的加热元件，那么从电源中吸取的有效电流是多少？并确定加热元件消耗的功率。

从电源中吸取的电流为：

I=VR=28040=7安培I = \frac{V}{R} = \frac{280}{40} = 7 \text{安培}

加热元件消耗的有功功率为：

P=I2R=72×40=1960瓦特P = I^2 R = 7^2 \times 40 = 1960 \text{瓦特}

示例 2
如果一个40欧姆的电阻上连接了一个 V(t)=200cos⁡(ωt+60∘)V(t) = 200 \cos(\omega t + 60^\circ) 的交流正弦电压，那么通过电路的电流是多少？

将给定的电压表达式从时域转换为相量域，得到：

VR(t)=200cos⁡(ωt+60∘)→VR=200∠60∘伏特V_R(t) = 200 \cos(\omega t + 60^\circ) \rightarrow V_R = 200 \angle 60^\circ \text{伏特}

根据欧姆定律，电路中的电流可以计算为：

IR=VRR=200∠60∘40=5∠60∘安培I_R = \frac{V_R}{R} = \frac{200 \angle 60^\circ}{40} = 5 \angle 60^\circ \text{安培}

带有电阻负载的串联交流电路​

下图展示了一个简单的交流电路，其中串联连接的电阻跨接在电源上。由于串联连接，电路中每个元件或任何一点的电流值相同，其大小取决于施加的电压和电路中的总电阻。

无论串联连接的电阻数量有多少，电流始终与施加的电压同相。

alt text

在上述电路中，可以通过应用欧姆定律来确定每个电阻上的电压。每个电阻上的电压降之和给出了施加到电路的总电压。

下图展示了该电路中施加电压与电流之间的相位关系，其中各个电压降和总电压均与电流同相。

alt text

示例
假设电路有一个280V的交流电压源和两个分别为40欧姆和60欧姆的加热元件，那么每个加热元件上的电压降是多少？

电路中的总电阻 RT=R1+R2=40+60=100欧姆R_T = R_1 + R_2 = 40 + 60 = 100 \text{欧姆}

电路中流动的电流 IT=VRT=280100=2.8安培I_T = \frac{V}{R_T} = \frac{280}{100} = 2.8 \text{安培}

因此，IT=IR1=IR2I_T = I_{R1} = I_{R2}

那么，加热元件1上的电压降 V1=ITR1=2.8×40=112伏特V_1 = I_T R_1 = 2.8 \times 40 = 112 \text{伏特}

加热元件2上的电压降 V2=ITR2=2.8×60=168伏特V_2 = I_T R_2 = 2.8 \times 60 = 168 \text{伏特}

带有电阻负载的并联交流电路​

alt text

在并联交流电路中，各种电阻负载连接到交流电压源上，因此每个分支上的电压保持不变，而总电流在各个电阻分支中分配。

因此，总电流可以通过将每个电阻中流动的所有单独电流相加来确定。这些单独的电流与施加的电压同相，因为电路由纯电阻负载组成。

alt text

上图展示了在具有纯电阻负载的并联交流电路中，电压与各个电流之间的同相关系。通过电阻的单独电流的大小取决于施加的电压和该电阻提供的阻抗。

如果电阻的值较大，则通过它的电流将较小，反之亦然。然而，无论它们的大小如何，这些电流都遵循电压波形（即与它同相）。

示例
如果电路有一个240V的交流电压源，并连接了两个分别为390欧姆和1k欧姆的并联加热元件，那么每个加热元件中流动的有效电流是多少？

在并联电路中，每个电阻上的电压相同，即 V=V1=V2V = V_1 = V_2。

根据欧姆定律，通过加热元件1的电流为：

IR1=V1R1=240390≈0.615安培=615毫安I_{R1} = \frac{V_1}{R_1} = \frac{240}{390} \approx 0.615 \text{安培} = 615 \text{毫安}

同样，通过加热元件2的电流为：

IR2=V2R2=2401000=0.24安培=240毫安I_{R2} = \frac{V_2}{R_2} = \frac{240}{1000} = 0.24 \text{安培} = 240 \text{毫安}

因此，通过加热元件的电流分别为615毫安和240毫安。