1.8 节点电压分析

节点分析法的核心概念是：在一个给定电路中，如果已知节点电压，则可以立即确定电路中所有支路电流。为了求解节点电压，我们使用基尔霍夫电流定律（KCL）。在这种方法中，电路中的变量是节点电压，而不是元件电压，这可以减少方程的数量，从而简化电路分析。在节点分析法中，当所有节点都可用时，选择其中一个节点作为参考节点（零电位），并将其表示为接地端。对于其他未知节点，以参考节点电压为基准分配电压。

对于给定电路中的每个节点，除了参考节点外，都应用基尔霍夫电流定律（KCL）。假设给定电路有 $N$ 个节点，那么我们将得到 $N-1$ 个联立方程，用于求解 $N-1$ 个未知节点电压。

节点分析法的分析步骤如下：

1. 检查是否可以将给定电路中的电压源转换为电流源，并进行转换。
2. 识别给定电路中存在的节点，并选择其中一个节点作为参考节点，以该参考节点（地）为基准，标记其他节点为未知节点电压。
3. 为给定电路中的每个支路分配电流方向（这是一个任意决定）。
4. 对 $N-1$ 个节点应用 KCL，并通过将支路电流表示为节点分配电压来写出节点方程。
5. 解节点的联立方程，求出节点电压，最终求出支路电流。节点方程的数量等于节点数减一（因为有一个节点被参考）。

考虑以下直流电路，使用节点分析法确定支路电流。

在节点分析的第一步中，我们需要选择一个参考节点，并将其连接到零电位或地电位，如下所示。

其次，对电路中的每个节点应用基尔霍夫电流定律（KCL），但不包括参考节点。通过在节点 1 应用 KCL，我们得到：

$I_{s1} - I_{s3} - I_4 - I_2 = 0$ $I_{s1} - I_{s3} - \frac{(V_1 - V_2)}{R_4} - \frac{(V_1 - V_3)}{R_2} = 0$ $I_{s1} - I_{s3} = V_1 \left( \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_4} \right) - V_2 \left( \frac{1}{R_4} \right) - V_3 \left( \frac{1}{R_2} \right)$ $I_{s1} - I_{s3} = G_{11} V_1 - G_{12} V_2 - G_{13} V_3 \quad \quad \quad (1)$

其中，$G_{1i}$ 是第一个节点的总电导之和。（因为 $\frac{1}{R} = G$）

通过在节点 2 应用 KCL，我们得到：

$I_4 - I_{s2} - I_3 = 0$ $\frac{(V_1 - V_2)}{R_4} - I_{s2} - \frac{(V_2 - V_3)}{R_3} = 0$ $-I_{s2} = -V_1 \left( \frac{1}{R_4} \right) + V_2 \left( \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} \right) - V_3 \left( \frac{1}{R_3} \right)$ $-I_{s2} = -G_{21} V_1 - G_{22} V_2 - G_{23} V_3 \quad \quad \quad (2)$

通过在节点 3 应用 KCL，我们得到：

$I_{s3} + I_2 + I_3 - I_1 = 0$ $I_{s3} + \frac{(V_1 - V_3)}{R_2} - \frac{(V_2 - V_3)}{R_3} - V_3 \left( \frac{1}{R_1} \right) = 0$ $I_{s3} = -V_1 \left( \frac{1}{R_2} \right) - V_2 \left( \frac{1}{R_3} \right) + V_3 \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} \right)$ $I_{s3} = -G_{31} V_1 - G_{32} V_2 + G_{33} V_3 \quad \quad \quad (3)$

同样，我们可以写出第 $i$ 个节点的 KCL 方程。因此，

$\sum I_{ii} = \text{第 } i \text{ 个节点连接的所有电流的代数和，其中 } i = 1, 2, 3, \ldots, N \text{，且 } N = n-1 \text{（} n \text{ 是电路中存在的总节点数）}$ $G_{ii} = \text{连接到第 } i \text{ 个节点的电导之和}$ $G_{ij} = \text{连接在 } i \text{ 和 } j \text{ 节点之间的电导之和}$

通过解上述三个方程，我们可以得到各个节点的支路电压，从而计算出支路电流。

示例

使用节点分析法确定给定电路中的节点电压和每个支路的电流。

给定电路包含一个电压源。该电压源可以转换为电流源，也可以直接进行分析而无需转换。现在我们直接计算节点电压而不进行任何转换。

在节点分析的第一步中，我们需要选择并标记给定电路中存在的节点。选择底部节点作为参考节点，电路中还有另外两个节点。因此，这些节点被标记为 $V_1$ 和 $V_2$，如下图所示。同时，每个支路的电流方向也已表示。

通过在节点 1 应用 KCL，我们得到：

$5 = I_3 + I_{10}$ $5 = \frac{V_1}{10} + \frac{(V_1 - V_2)}{3}$ $13V_1 - 10V_2 = 150 \quad \quad \quad (1)$

通过在节点 2 应用 KCL，我们得到：

$I_3 = I_5 + I_1$ $\frac{(V_1 - V_2)}{3} = \frac{V_2}{5} + \frac{(V_2 - 10)}{1}$ $5V_1 - 23V_2 = -150 \quad \quad \quad (2)$

通过解上述两个方程，我们得到：

$V_1 = 19.85 \text{ V}$ $V_2 = 10.9 \text{ V}$

每个支路的电流如下：

$I_{10} = \frac{V_1}{10} = \frac{19.85}{10} = 1.985 \text{ A}$ $I_3 = \frac{(V_1 - V_2)}{3} = \frac{(19.85 - 10.9)}{3} = 2.98 \text{ A}$ $I_5 = \frac{V_2}{5} = \frac{10.9}{5} = 2.18 \text{ A}$ $I_1 = V_2 - 10 = 10.9 - 10 = 0.9 \text{ A}$

超节点的概念

当电路中有两个支路之间存在电压源时，应用节点分析法会变得困难。解决此问题的一种方法是应用超节点技术。在超节点技术中，连接在两个相邻节点之间的电压源被短接，从而将这两个节点合并为一个超节点。

考虑上述示例，其中电压源连接在节点 2 和 3 之间。如果直接分析带有电压源的电路，计算会变得更加困难。如果通过短接节点 2 和 3 来创建一个超节点，则该电路的分析会变得更容易。

在节点 1 应用基尔霍夫电流定律（KCL），我们得到：

$I = \frac{V_1}{R_1} + \frac{(V_1 - V_2)}{R_2} \quad \quad \quad (1)$

通过短接节点 2 和 3 并应用 KCL，可以将超节点技术应用于给定电路，得到：

$\frac{(V_2 - V_1)}{R_2} + \frac{V_2}{R_3} + \frac{(V_3 - V_y)}{R_4} + \frac{V_3}{R_5} = 0$

此外，电压源的电压为：

$V_x = V_2 - V_3$

通过上述三个方程，我们可以轻松求出电路中的三个未知电压。

超节点示例

考虑以下电路，使用超节点技术求解三个未知节点电压 $V_1$、$V_2$ 和 $V_3$。

在节点 1，电源连接到参考节点，因此 $V_1$ 为 5V：

$V_1 = 5 \, \text{V}$

通过包围节点 2 和 3 形成一个超节点。在该超节点应用 KCL，我们得到：

$i_1 = i_2 + i_3$ $\frac{(V_1 - V_2)}{5} = \frac{V_2}{10} + \frac{V_3}{20} \quad \quad \quad (1)$

此外，超节点的 KVL 给出：

$V_2 - V_3 = 10 \quad \quad \quad (2)$

通过求解上述方程，我们得到 $V_2 = 4.29 \, \text{V}$ 和 $V_3 = -5.71 \, \text{V}$。