1.5 基尔霍夫斯电路理论

本教程将学习基尔霍夫定律。基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）是电路分析中两个非常重要的数学等式。

基尔霍夫定律简介

许多电路本质上是复杂的，使用简单的欧姆定律和串联/并联组合简化方法来计算这些电路中的未知量是不可能的。因此，为了简化这些电路，使用了基尔霍夫定律。

这些定律是用于求解电路（无论是交流还是直流）中电压和电流的解的基本分析工具。电路中的元件以无数种可能的方式连接，因此这些定律对于求解电路参数非常有帮助。

在深入了解基尔霍夫定律之前，我们需要考虑一些与电路相关的术语。

节点：节点或连接点是电路中两个或多个电气元件连接的点。它指定了电路中相对于参考节点的电压水平。

支路：电路中两个连接点之间包含电气元件的连续导电路径称为支路。

回路：在电路中，回路是电路中一个独立的闭合路径，它按照支路的顺序进行，必须从同一个节点开始和结束，并且不能接触任何其他连接点或节点超过一次。

网孔：在电路中，网孔是一个在其内部不包含任何其他回路的回路。

基尔霍夫定律的历史

基尔霍夫定律是由德国物理学家古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫在1845年提出的。基尔霍夫定律在理解电路方面取得了重大突破。它们为分析复杂网络和计算其中的电流和电压提供了一种系统的方法。

基尔霍夫定律有助于扩展欧姆定律，欧姆定律适用于单个电阻器，而基尔霍夫定律适用于涉及多个回路和连接点的更复杂电路。他的定律被广泛用作解决电路问题的工具，并且仍然是现代电气工程和物理学的核心。

除了电路之外，基尔霍夫还在热力学和光谱学方面做出了贡献，他与罗伯特·本生一起通过光谱分析发现了铯和铷等化学元素。基尔霍夫定律用于描述电路中的电压和电流关系。这些定律包括：基尔霍夫电压定律（KVL）和基尔霍夫电流定律（KCL）。

什么是基尔霍夫定律？

基尔霍夫定律指的是用于电路分析的两个基本原理，即基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）。这些定律有助于分析复杂电路中的电流和电压流动。

1. 基尔霍夫电流定律（KCL） 基尔霍夫电流定律指出，电路中流入一个连接点（或节点）的总电流等于从该连接点流出的总电流。简单来说，KCL 表示流入一个节点的总电流必须等于流出该节点的总电流。

KCL 的数学表达式为：

$\sum I_{\text{in}} = \sum I_{\text{out}}$

2. 基尔霍夫电压定律（KVL） 基尔霍夫电压定律指出，电路中任何闭合回路中所有电压的总和为零。这是基于能量守恒原理，意味着回路中的总电压增益和电压降必须相互抵消。简单来说，KVL 表示一个回路中元件上的电压降之和必须等于电压升之和。

KVL 的数学表达式为：

$\sum V = 0$

基尔霍夫电流定律（KCL）

KCL 也被称为电荷守恒定律，因为电荷或电流不能在连接点或节点处被创造或销毁。它指出，任何节点处的电流代数和为零。因此，流入一个节点的电流必须等于流出该节点的电流之和。

在上图中，电流 $I_1$ 和 $I_2$ 流入节点，而电流 $I_3$ 和 $I_4$ 从节点流出。应用 KCL 于该节点，假设流入电流为正，流出电流为负，可以写为：

$I_1 + I_2 + (-I_3) + (-I_4) = 0$ $I_1 + I_2 = I_3 + I_4$

基尔霍夫电流定律示例

考虑下图，我们需要使用 KCL 来确定电流 $I_{AB}$ 和 $I_x$。

通过在点 A 应用基尔霍夫电流定律，我们得到

$I_{AB} = 0.5 - 0.3$ $I_{AB} = 0.2 \, \text{安培}$

同样地，在点 B 应用 KCL，我们得到

$I_{AB} = 0.1 + I_x$ $0.2 = 0.1 + I_x$ $I_x = 0.2 - 0.1 = 0.1 \, \text{安培}$

基尔霍夫电压定律（KVL）

基尔霍夫电压定律指出，闭合路径中电压的代数和等于零，即电路中电源电压之和等于电路中电压降之和。如果电流在一个元件中从高电位流向低电位，则我们将其视为电压降。

如果电流在一个元件中从低电位流向高电位，则我们将其视为电压升。因此，在电路中，电流所消耗的能量必须等于电源所提供的能量。

考虑上图所示的电路，假设电流流向为顺时针方向。该电路中的各个电压降分别为：$V_1$ 为正，$IR_1$ 为负（电压降），$IR_2$ 为负（电压降），$V_2$ 为负，$IR_3$ 为负（电压降），$IR_4$ 为负（电压降），$V_3$ 为正，$IR_5$ 为负，$V_4$ 为负。应用 KVL，我们得到

$V_1 + (-IR_1) + (-IR_2) + (-V_2) + (-IR_3) + (-IR_4) + V_3 + (-IR_5) + (-V_4) = 0$ $V_1 - IR_1 - IR_2 - V_2 - IR_3 - IR_4 + V_3 - IR_5 - V_4 = 0$ $V_1 - V_2 + V_3 - V_4 = IR_1 + IR_2 + IR_3 + IR_4 + IR_5$

因此，KVL 也被称为电能守恒定律，因为闭合路径中电压降（电阻与电流的乘积）之和等于电路中电压源之和。

基尔霍夫电压定律示例

1. 考虑下图所示的单回路电路，并假设电流流向为 DEABCD 闭合路径。在这个电路中，我们需要使用 KVL 来求解电压 $V_1$。

应用 KVL 于这个闭合回路，我们可以写出

$V_{ED} + V_{AE} + V_{BA} + V_{CB} + V_{DC} = 0$

其中

点 E 相对于点 D 的电压，$V_{ED} = -50 \, \text{V}$

点 D 相对于点 C 的电压，$V_{DC} = -50 \, \text{V}$

点 A 相对于点 E 的电压，$V_{AE} = I \times R$

$V_{AE} = 500 \, \text{m} \times 200$ $V_{AE} = 100 \, \text{V}$

同样地，点 C 相对于点 B 的电压，$V_{CB} = 350 \, \text{m} \times 100$

$V_{CB} = 35 \, \text{V}$

假设点 A 相对于点 B 的电压为 $V_{AB} = V_1$

$V_{BA} = -V_1$

然后使用 KVL

$-50 + 100 - V_1 + 35 - 50 = 0$ $V_1 = 35 \, \text{伏特}$

2. 考虑下图所示的典型双回路电路，我们需要通过应用基尔霍夫定律来求解电流 $I_1$ 和 $I_2$。

电路中有两个回路，考虑如图所示的回路路径。

对这些回路应用基尔霍夫电压定律（KVL），我们得到：

对于第一个回路：

$2(I_1 + I_2) + 4I_1 - 28 = 0$ $6I_1 + 2I_2 = 28 \quad \text{(1)}$

对于第二个回路：

$-2(I_1 + I_2) - I_2 + 7 = 0$ $-2I_1 - 3I_2 = -7 \quad \text{(2)}$

通过解上述方程（1）和（2），我们得到：

$I_1 = 5\, \text{A}$ $I_2 = -1\, \text{A}$

基尔霍夫定律示例

现在，我们使用基尔霍夫电流定律（KCL）和基尔霍夫电压定律（KVL）来求解下图电路中的电流和电压降。与上述问题类似，该电路也包含两个回路和两个节点。考虑图中给出的电流方向。

在两个节点处应用基尔霍夫电流定律，我们得到：

在节点1处，$I = I_1 + I_2$

在节点2处，$I_1 + I_2 = I$

对两个回路应用基尔霍夫电压定律，我们得到：

在第一个回路中：

$1.5\, \text{V} - 100I_1 = 0$ $I_1 = \frac{1.5}{100}$ $I_1 = 0.015\, \text{A}$

在第二个回路中：

$100(I_1 - I_2) - 9\, \text{V} - 200I_2 = 0$ $100I_1 - 300I_2 = 9$

将 $I_1$ 的值代入上述方程：

$1.5 - 300I_2 = 9$ $-300I_2 = 7.5$ $I_2 = -0.025\, \text{A}$

然后，节点处的电流 $I$ 为：

$I = I_1 + I_2$ $I = 0.015 - 0.025$ $I = -0.01\, \text{A}$

基尔霍夫定律的应用

• 利用这些定律，我们可以求解未知的电阻、电压和电流（包括方向和大小）。
• 在支路法中，通过在电路的每个节点应用KCL和每个回路应用KVL，来求解通过每个支路的电流。
• 在回路电流法中，通过为每个独立回路应用KVL，并计算电路中任何元件中的所有电流，来求解通过每个独立回路的电流。
• 用于节点法求解电压和电流。
• 这些定律可以应用于分析任何电路，无论其组成和结构如何。