1.10 戴维南定理

本教程将学习戴维宁定理。戴维宁定理是电气电路分析领域中一个重要的定理，被认为比基尔霍夫定律更简单。

引言

对于许多线性电路，使用戴维宁定理和诺顿定理这两种电路简化技术或定理可以极大地简化分析。戴维宁定理以法国工程师 M. L. 戴维宁的名字命名，于 1883 年提出，而诺顿定理则以科学家 E. L. 诺顿的名字命名。

通过使用这些定理，可以将网络的一个较大或较复杂的部分替换为一个简单的等效电路。通过这个等效电路，我们可以轻松地进行必要的电流、电压和功率计算，这些计算与原电路向负载提供的功率相同。这种应用确保了选择最佳的负载电阻值。让我们详细了解一下戴维宁定理。

为什么使用戴维宁定理？

在大多数应用中，一个网络可能包含一个可变负载元件，而其他元件是固定的。最好的例子是我们的家用插座，它连接到不同的电器或负载。因此，如果需要，每次可变元件发生变化时，都需要计算给定电路中每个元件的电压、电流或功率。

这种重复的程序有些复杂且繁琐。通过引入电路固定部分的等效电路，避免了这种重复的计算，从而使负载电阻变化时的电路分析变得容易。

考虑上述简单的直流电路，负载电阻中的电流可以通过使用不同的技术（如网孔分析、节点分析或叠加法）来确定。假设负载电阻变为其他值，则需要再次应用这些方法之一。

为了避免每次负载变化时都应用这种繁琐的简化技术，可以通过将电路的固定部分（在黑盒内）替换为一个实际的电压源，即戴维宁定理的体现。在实践中，戴维宁定理有助于找到向扬声器提供的最大功率，这些扬声器由晶体管功率放大器供电。

戴维宁定理的表述

戴维宁定理指出，任何包含电源和电阻的线性双端电路，连接到给定负载 $R_L$，都可以被一个等效电路替换，该电路由一个单一的电压源 $V_{th}$ 和一个串联电阻 $R_{th}$ 组成，连接在 $R_L$ 的端子上。

下图显示了双端网络的戴维宁模型，其中负载中的电流相同，因此这两个电路彼此等效。

类似于直流电路，这种方法也可以应用于包含线性元件（如电阻、电感、电容）的交流电路。与戴维宁等效电阻类似，通过将所有电压源替换为其内部阻抗，可以得到戴维宁等效阻抗。

在交流电路中，戴维宁定理可以表述为：任何包含线性元件和有源电源的双端线性双边电路，连接到 $Z_L$ 的端子上，都可以被一个单一的等效电压源 $V_{th}$ 和一个单一的阻抗 $Z_{th}$ 替换，连接在 $Z_L$ 的两个端子上。

戴维宁定理的分析步骤

以下是使用戴维宁定理简化电路的步骤，以便确定负载电流。

1. 考虑给定电路，并断开负载电阻 $R_L$（负载阻抗 $Z_L$）或支路电阻（交流电路中的支路阻抗），通过该电阻计算电流。

2. 断开 $R_L$ 后，确定负载两端的开路电压 $V_{th}$。为了找到 $V_{th}$，可以应用任何可用的电路简化技术，如网孔分析、节点电压法、叠加法等。或者，我们可以简单地使用万用表测量负载端子上的电压。

3. 通过将所有电源替换为其内部电阻（交流电路中的内部阻抗）重新绘制电路，并确保电压源短路，电流源开路（对于理想电源）。

4. 计算负载端子之间存在的总电阻 $R_{th}$（或 $Z_{th}$）。

5. 将这个等效电阻 $R_{th}$（或 $Z_{th}$）与电压 $V_{th}$ 串联插入，这个电路被称为戴维宁等效电路。

6. 现在，将负载电阻（负载阻抗 $Z_L$）重新连接到负载端子上，并通过简单计算确定负载的电流、电压和功率。

在直流电路中：

负载电流：

$I_L = \frac{V_{th}}{R_L + R_{th}}$

负载两端的电压：

$V_L = R_L \times \frac{V_{th}}{R_L + R_{th}}$

负载电阻中消耗的功率：

$P_L = R_L \times I_L^2$

在交流电路中，负载电流：

$I_{L1} = \frac{V_{th}}{Z_L + Z_{th}}$

负载两端的电压：

$V_L = Z_L \times \frac{V_{th}}{Z_L + Z_{th}}$

负载电阻中消耗的功率：

$P_L = Z_L \times I_{L1}^2$

直流电路等效电路示例

考虑下图所示的直流电路。我们将通过应用戴维宁定理来找到通过电阻 $R_2 = R_L = 2$ 欧姆（连接在端子 a 和 b 之间）的电流。

1. 移除负载电阻 $R_2$ 或 $R_L$，并假设闭合路径方向指向点 C。

2. 在节点 C 应用节点分析，计算戴维宁电压 $V_{th}$。

通过在节点 C 应用基尔霍夫电流定律（KCL），我们得到：

$4 + I_1 + I_2 = 0$ $4 + \frac{6 - V_c}{4} + \frac{0 - V_c}{10} = 0$ $V_c = 15.714 \text{ 伏特}$

然后，每个支路的电流可以确定为：

$I_1 = \frac{V_a - V_c}{4} = \frac{6 - 15.714}{4} = 2.0715 \text{ 安培}$ $I_2 = \frac{0 - V_c}{10} = \frac{-15.714}{10} = -1.571 \text{ 安培}$

负号表示电流从节点 C 流向各自的点（对于 $I_1$ 和 $I_2$ 分别为 “a” 和地）。

通过重新绘制电路，并应用基尔霍夫电压定律（KVL），可以确定端子 ab 之间的电压：

$V_{th} = V_a - V_b \quad (\text{相对于地端子})$ $= V_a - (I_2 \times R_4)$ $= 6 - (1.571 \times 4) = 0.28 \text{ 伏特}$

3. 接下来，将所有电源替换为其内部电源。假设电压源是理想电源，因此内部电阻为零，因此它被短路，电流源是理想电流源，因此它具有无限电阻，因此它被开路。然后，等效的戴维宁电阻电路如下图所示。

4. 接下来，我们需要通过查看端子 a 和 b（负载端子）来找到戴维宁等效电阻 $R_{th}$。

$R_{th} = \frac{(R_1 + R_3) \times R_4}{(R_1 + R_3) + R_4} \quad (\text{并联电阻})$ $= \frac{10 \times 4}{10 + 4} = 2.85 \text{ 欧姆}$

5. 将上述计算出的电压源与等效电阻串联放置，形成戴维宁等效电路，如下图所示。

通过将负载电阻重新连接到端子 a 和 b 之间，我们可以计算通过负载的电流：

$I_L = \frac{V_{th}}{R_{th} + R_L} = \frac{0.28}{2.85 + 2} = 0.057 \text{ 安培}$

下图显示了原电路，其中负载电阻中的电流已标明。

我们还可以通过改变负载电阻的值来找到通过负载的电流：

当 $R_L = 8$ 欧姆时，

$I_L = \frac{0.28}{2.85 + 8} = 0.02 \, \text{安培}$

当 $R_L = 12$ 欧姆时，

$I_L = \frac{0.28}{2.85 + 12} = 0.01 \, \text{安培}$

交流电路等效电路示例

考虑下图所示的交流电路，我们将使用戴维宁定理来找到通过阻抗 $4 + 4j$ 欧姆的电流。

在上述电路中，2∠0 的电流源与 4 欧姆电阻并联。因此，可以将其转换为一个 8∠0 的电压源，串联电阻为 4 欧姆，如图所示。

在进行上述转换后，通过断开负载端子重新绘制电路，如下图所示。

假设修改后的图中的网孔电流，并写出网孔的 KVL 方程：

对于网孔 1：

$2∠0 - I_1 - 2(I_1 - I_2) - 4∠0 = 0$ $-3I_1 + 2I_2 = 2 \quad \quad \quad (1)$

对于网孔 2：

$4∠0 - 2(I_2 - I_1) - 4I_2 - 8∠0 = 0$ $2I_1 - 6I_2 = 4 \quad \quad \quad (2)$

通过解上述两个方程，我们得到：

$I_2 = -1.142∠0 \, \text{A}$

因此，

$V_{th} = 8∠0 - 4 \times (1.142∠0) = 3.43∠0 \, \text{V}$

等效阻抗为：

$Z_{th} = \frac{1}{1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}} = 0.574∠0 \, \text{欧姆}$

因此，通过 $2 + 2j$ 阻抗的电流为：

$I_{AB} = \frac{V_{th}}{Z_{th} + Z_L} = \frac{3.43∠0}{0.574∠0 + 4 + 4j}$ $= \frac{3.43∠0}{6.07∠41.17} = 0.56∠-41.17 \, \text{A}$

戴维宁定理的局限性

• 如果电路包含非线性元件，则不适用此定理。
• 对于单向网络，此定理也不适用。
• 负载与要替换为戴维宁等效电路的电路之间不应存在磁耦合。
• 负载侧不应存在由网络其他部分控制的受控源。