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1.7 有源高通滤波器

在之前的教程中，我们已经学习了无源滤波器，包括无源高通 RC 滤波器和无源低通 RC 滤波器。在本教程中，我们将学习有源滤波器，特别是有源高通滤波器。

顾名思义，高通滤波器仅允许信号中的高频成分通过，同时限制低频成分。名称中的“有源”部分表明，在设计滤波器时使用了有源元件，如晶体管、运算放大器等。

如果您需要了解有源低通滤波器的相关信息，请查看这篇教程：有源低通滤波器。

引言​

高通滤波器允许高于截止频率的频率通过，并衰减低于截止频率的频率。在某些情况下，这种滤波器也被称为“低切”滤波器或“低频削减”滤波器。衰减的程度或通带范围将取决于滤波器的设计参数。

有源滤波器的通带增益大于单位增益。有源高通滤波器的工作原理与无源高通滤波器相同，但主要区别在于有源高通滤波器使用了运算放大器，它提供了输出信号的放大和增益控制。

高通滤波器的理想特性如下图所示。

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我们知道，高通滤波器将允许从截止频率点到“无穷大”频率的频率通过，而“无穷大”在实际应用中是不存在的。与无源高通滤波器不同，在这种有源高通滤波器中，最大频率响应受到运算放大器开环特性的限制。

有源高通滤波器电路​

将无源 RC 高通滤波器电路连接到运算放大器的反相或同相端，即可得到一阶有源高通滤波器。连接到单位增益运算放大器同相端的无源 RC 高通滤波器电路如下图所示。

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增益 Amax=1A_{\text{max}} = 1，截止频率 fc=12πRCf_c = \frac{1}{2\pi RC}

高电压增益的有源高通滤波器​

其工作原理与无源高通滤波器相同，但输入信号在输出时被放大器放大。放大程度取决于放大器的增益。

通带增益的幅度等于 1+R3R21 + \frac{R_3}{R_2}，其中 R3R_3 是反馈电阻（单位：欧姆）， R2R_2 是输入电阻。具有放大的有源高通滤波器电路如下图所示。

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有源高通滤波器的电压增益​

电压增益 Av=Amaxf/fc1+(f/fc)2A_v = A_{\text{max}} \frac{f/f_c}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}}

其中：

  • ff = 工作频率
  • fcf_c = 截止频率
  • AmaxA_{\text{max}} = 滤波器的通带增益 = 1+R3R21 + \frac{R_3}{R_2}

在低频时，即工作频率低于截止频率时，滤波器的电压增益小于通带增益 AmaxA_{\text{max}}。在高频时，即工作频率高于截止频率时，滤波器的电压增益等于通带增益。

如果工作频率等于截止频率，则滤波器的电压增益等于 0.707Amax0.707 A_{\text{max}}。

电压增益（dB）​

电压增益的幅度通常以分贝（dB）表示：

Av(dB)=20log⁡10(VoutVin)A_v (\text{dB}) = 20 \log_{10} \left(\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}\right)
−3 dB=20log⁡10(0.707×VoutVin)-3 \text{ dB} = 20 \log_{10} (0.707 \times \frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}})

截止频率 fcf_c 分隔了通带和阻带，可以用以下公式计算：

fc=12πRCf_c = \frac{1}{2\pi RC}

有源高通滤波器的相位偏移与无源滤波器相同。在截止频率 fcf_c 时相位偏移为 +45°，该相位偏移值为：

ϕ=tan⁡−1(12πfcRC)\phi = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2\pi f_c RC}\right)

有源高通滤波器的频率响应​

与放大器开环增益相关的频率响应曲线如下图所示。

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在有源高通滤波器的频率响应中，最大通带频率受到运算放大器带宽或开环特性的限制。由于这一限制，有源高通滤波器的响应将类似于宽带滤波器的响应。

通过使用基于运算放大器的有源高通滤波器，我们可以利用低容差电阻和电容实现高精度。

使用反相运算放大器的有源高通滤波器​

我们知道，有源高通滤波器可以通过使用运算放大器的反相端或同相端来设计。到目前为止，我们已经看到了同相有源高通滤波器的电路和响应曲线。现在让我们看看使用反相运算放大器的有源高通滤波器。

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基于拉普拉斯变换的增益推导​

考虑以下反相放大器电路。

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输入阻抗 Z1=1sC1Z_1 = \frac{1}{sC_1}

其中 ss = 拉普拉斯变量， C1C_1 = 电容

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流经电路的电流为 I1I_1、 I2I_2 和 IinI_{\text{in}}，

其中 I1=I2I_1 = I_2，且 Iin=0I_{\text{in}} = 0

VinZ1=−VoutR1\frac{V_{\text{in}}}{Z_1} = -\frac{V_{\text{out}}}{R_1}
VoutVin=−R1Z1=−R11sC1=−sR1C1=增益\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} = -\frac{R_1}{Z_1} = -\frac{R_1}{\frac{1}{sC_1}} = -sR_1C_1 = \text{增益}

有源高通滤波器示例​

假设截止频率值为 10 kHz，通带增益 AmaxA_{\text{max}} 为 1.5，电容值为 0.02 µF。

截止频率公式为：

fc=12πRCf_c = \frac{1}{2\pi RC}

重新排列该公式可得：

R=12πfcCR = \frac{1}{2\pi f_c C}

代入截止频率 10 kHz 和电容 0.02 µF 的值：

R=12π×10000×0.02×10−6≈795.77 ΩR = \frac{1}{2\pi \times 10000 \times 0.02 \times 10^{-6}} \approx 795.77 \, \Omega

滤波器的通带增益为：

Amax=1+R3R2=1.5A_{\text{max}} = 1 + \frac{R_3}{R_2} = 1.5
R3=0.5R2R_3 = 0.5 R_2

假设 R2R_2 为 10 kΩ，则 R3R_3 为 5 kΩ。

我们可以按以下方式计算滤波器的增益：

高通滤波器的电压增益：

∣VoutVin∣=Amax×f/fc1+(f/fc)2\left|\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}\right| = A_{\text{max}} \times \frac{f/f_c}{\sqrt{1 + (f/f_c)^2}}
Av(dB)=20log⁡10(VoutVin)A_v (\text{dB}) = 20 \log_{10} \left(\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}\right)

使用该公式，我们可以为一系列频率值（假设为 10 Hz 到 100 kHz）计算响应，以便绘制滤波器的响应曲线。

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波德图​

为了分析电路的频率响应，我们使用波德图。波德图本质上是线性、时变系统的传递函数与频率的关系图。该图以对数频率轴绘制，主要包含两个部分：幅值图和相位图。

幅值图用于表示频率响应的幅度，即增益；而相位图用于表示频率变化的响应。

根据上述表格中的值，绘制的频率响应波德图如下：

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根据计算结果，在频率为 10 Hz 时，滤波器的增益为 -56.48 dB。当频率增加到 100 Hz 时，增益为 -36.48 dB；在频率为 500 Hz 时，滤波器的增益为 -22.51 dB。

在频率为 1000 Hz 时，增益为 -16.52 dB。由此可以得出，随着频率的增加，滤波器的增益以 20 dB/十年的速率增加。

直到截止频率 10 kHz 为止，滤波器的增益不断增加，但在截止频率之后，增益达到最大值并保持恒定。

二阶高通滤波器​

二阶有源滤波器的频率响应与二阶有源低通滤波器的响应完全相反，因为这种滤波器会衰减截止频率以下的电压。二阶滤波器的传递函数如下：

Vout(s)Vin(s)=−Ks2s2+(ω0Q)s+ω02\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)} = -\frac{K s^2}{s^2 + \left(\frac{\omega_0}{Q}\right)s + \omega_0^2}

其中 K=R1R2K = \frac{R_1}{R_2} 且 ω0=1CR\omega_0 = \frac{1}{CR}。

这是二阶高通滤波器的一般形式。

二阶有源高通滤波器电路​

二阶有源滤波器的设计过程与一阶滤波器相同，因为唯一的区别在于滚降特性。如果一阶有源高通滤波器的滚降为 20 dB/十年，则二阶滤波器的滚降为 40 dB/十年。

这意味着二阶滤波器的滚降是一阶滤波器的两倍。二阶滤波器的电路如下图所示：

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滤波器的增益为 1+R1R21 + \frac{R_1}{R_2}，截止频率的公式为：

fc=12πR3R4C1C2f_c = \frac{1}{2\pi \sqrt{R_3 R_4 C_1 C_2}}

二阶有源高通滤波器示例​

让我们设计一个截止频率为 4 kHz 的滤波器，其阻带的延迟率为 40 dB/十年。由于阻带的延迟率为 40 dB/十年，我们可以明确这是一个二阶滤波器。

假设电容值为 C1=C2=C=0.02C_1 = C_2 = C = 0.02 µF。

截止频率的公式为：

R=12πfcCR = \frac{1}{2\pi f_c C}

重新排列该公式可得：

R=12πfcCR = \frac{1}{2\pi f_c C}

将截止频率 4 kHz 和电容 0.02 µF 的值代入：

R=12π×4000×0.02×10−6≈1.989 kΩ=2 kΩR = \frac{1}{2\pi \times 4000 \times 0.02 \times 10^{-6}} \approx 1.989 \text{ k}\Omega = 2 \text{ k}\Omega

假设滤波器的增益为 1+R1R2=21 + \frac{R_1}{R_2} = 2。

R1R2=1\frac{R_1}{R_2} = 1
R1=R2R_1 = R_2

因此，我们可以取 R1=R2=10R_1 = R_2 = 10 kΩ。

得到的滤波器如下图所示：

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高阶高通滤波器​

通过将一阶滤波器与二阶滤波器级联，我们可以得到三阶滤波器。当我们级联两个二阶滤波器时，可以得到四阶滤波器。通过这种方式，利用一阶和二阶滤波器，我们可以得到更高阶的滤波器。

随着滤波器阶数的增加，实际阻带与理论阻带之间的差异会增加。但高阶滤波器的总增益是相等的，因为我们已经看到，决定频率响应值的电阻和电容是相同的。

这种级联顺序如下图所示：

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有源高通滤波器的应用​

  • 在扬声器中用于降低低电平噪声。
  • 在音频应用中消除低频噪声（隆隆声失真），因此也被称为高频提升滤波器。
  • 在音频放大器中用于放大高频信号。
  • 在均衡器中也有应用。