1.1 布尔代数基础知识

对于那些对布尔代数感兴趣的人来说，探索其定律、如何简化表达式以及其在数字电子学中的应用，可以为理解数字逻辑和计算机科学的基础知识提供宝贵的见解。

什么是布尔代数

布尔代数是代数的一个特殊分支，主要用于数字电子学。布尔代数是由英国数学家乔治·布尔（George Boole）在1854年发明的。

布尔代数是一种简化数字电子学中逻辑电路（有时也称为逻辑开关电路）的方法。因此，它也被称为“开关代数”。我们可以通过使用数字并遵循一些众所周知的“布尔代数定律”来表示逻辑电路的功能。

我们还可以通过遵循一些定理（称为“布尔代数定理”）来更快地进行电路的计算和逻辑运算。布尔函数是一个表示逻辑电路输入和输出之间关系的函数。

布尔逻辑只允许电路的两种状态，例如“真”和“假”。这两种状态分别用1和0表示，其中1表示“真”，0表示“假”。

在布尔代数中，最重要的是要记住它与常规数学代数及其方法有很大的不同。在学习布尔代数之前，让我们先了解布尔代数的历史以及其发明和发展。

布尔代数的历史

如前所述，布尔代数是由英国数学家乔治·布尔在1854年发明的。他首次在他的著作《思维规律的研究》中提出了布尔代数的概念。

此后，布尔代数被公认为表示数字逻辑电路的完美方式。

在19世纪末，科学家杰文斯（Jevons）、施罗德（Schroder）和亨廷顿（Huntington）将这一概念用于现代化的概念。1936年，M.H.斯通（M.H.Stone）证明布尔代数与集合（数学的一个功能领域）是“同构的”。

在20世纪30年代，科学家克劳德·香农（Claude Shannon）利用布尔代数的概念开发了一种新的代数方法，称为“开关代数”，用于研究开关电路。

现代电子自动化工具的逻辑综合通过使用布尔函数（称为“二进制决策图”）有效地表示。

布尔代数只允许逻辑电路的两种状态，即“真”和“假”或“高”和“低”或“是”和“否”或“开”和“关”或0和1。

布尔表达式

布尔表达式与数学表达式类似。布尔表达式是通过使用逻辑运算符组合逻辑变量形成的。例如：

• $X + Y$
• $X + Y + X Z'$
• $X' + Y'$

布尔代数的公理

布尔代数系统必须遵循一些基本定律和规则，这些被称为“布尔代数定律”。

1和0的性质

$\begin{aligned} 0 + X &= X \\ 1 + X &= 1 \\ 0 \cdot X &= 0 \\ 1 \cdot X &= X \\ \end{aligned}$

恒等律

$\begin{aligned} X + 0 &= X \\ X \cdot 1 &= X \\ \end{aligned}$

幂等律

$\begin{aligned} X + X &= X \\ X \cdot X &= X \\ \end{aligned}$

支配律或零化律

$\begin{aligned} X \cdot 0 &= 0 \\ X + 1 &= 1 \\ \end{aligned}$

互补律

$\begin{aligned} X + X' &= 1 \\ X \cdot X' &= 0 \\ \end{aligned}$

交换律

$\begin{aligned} X + Y &= Y + X \\ X \cdot Y &= Y \cdot X \\ \end{aligned}$

分配律

$\begin{aligned} X \cdot (Y + Z) &= X \cdot Y + X \cdot Z \\ X + (Y \cdot Z) &= (X + Y) \cdot (X + Z) \\ \end{aligned}$

结合律

$\begin{aligned} X + (Y + Z) &= (X + Y) + Z \quad (\text{OR结合律}) \\ X \cdot (Y \cdot Z) &= (X \cdot Y) \cdot Z \quad (\text{AND结合律}) \\ \end{aligned}$

吸收律

$\begin{aligned} X + X \cdot Y &= X \quad (\text{OR吸收律}) \\ X \cdot (X + Y) &= X \quad (\text{AND吸收律}) \\ \end{aligned}$

冗余律

$\begin{aligned} X + X' \cdot Y &= X + Y \\ X \cdot (X' + Y) &= X \cdot Y \\ \end{aligned}$

组合律

$\begin{aligned} X \cdot Y + X \cdot Y' &= X \\ (X + Y) \cdot (X + Y') &= X \\ \end{aligned}$

对合律

$(X')' = X$

共识律

$\begin{aligned} X \cdot Y + X' \cdot Z + Y \cdot Z &= X \cdot Y + X' \cdot Z \\ (X + Y) \cdot (X' + Z) \cdot (Y + Z) &= (X + Y) \cdot (X' + Z) \\ \end{aligned}$ 布尔表达式描述与等效开关电路

布尔表达式	描述	等效开关电路	布尔定律
$X + 1 = 1$	X与闭合并联="CLOSED"		零化律
$X + 0 = X$	X与开关闭联="X"		恒等律
$X \cdot 1 = X$	X与闭合串联="X"		恒等律
$X \cdot 0 = 0$	X与开关串联="OPEN"		零化律
$X + X = X$	X与X并联="X"		幂等律
$X \cdot X = X$	X与X串联="X"		幂等律
$\text{NOT } X' = X$	双重否定="X"		双重否定
$X + X' = 1$	X与非X并联="CLOSED"		互补律
$X \cdot X' = 0$	X与非X串联="OPEN"		互补律
$X + Y = Y + X$	X与Y并联=Y与X并联		交换律
$X \cdot Y = Y \cdot X$	X与Y串联=Y与X串联		交换律
$(X + Y)' = X' \cdot Y'$	取反并将OR替换为AND		德摩根定理
$(X \cdot Y)' = X' + Y'$	取反并将AND替换为OR		德摩根定理

布尔逻辑运算

在普通数学中，我们使用数学运算符（如 +、-、*、/）来表示代数变量之间的数学运算。同样，在布尔代数中，我们使用逻辑运算符（如AND、OR、NOT）来表示布尔运算。

基本的布尔算术运算有3种，分别是AND运算、OR运算和NOT运算。布尔运算始终用大写字母表示。

用小写字母表示运算是错误的。接下来我们讨论布尔算术运算。

补码（NOT函数）

补码表示“反转或逆或相反值”。布尔代数支持补码定律。例如，如果变量为1，则其补码为0。

同样，如果变量为0，则其补码为1。补码变量用变量上的“横线”表示。

补码运算也称为NOT运算。NOT门执行布尔补码运算。

如果 $X = 1$，则 $X' = 0$。
如果 $X = 0$，则 $X' = 1$。

补码输出 $X'$ 可以读作“X-bar”或“X-not”。我们也可以用“撇号”符号（'）表示补码变量，如 $X'$。

NOT门的逻辑符号如下所示。

加法（OR函数）

OR运算表示二进制数的布尔加法。它产生两个二进制数的和，例如：

$\begin{aligned} 0 + 0 &= 0 \\ 0 + 1 &= 1 \\ 1 + 0 &= 1 \\ 1 + 1 &= 1 \\ \end{aligned}$

布尔OR运算可以通过OR门和平行开关触点来解释。

对于 $0 + 0 = 0$：

对于 $0 + 1 = 1$：

对于 $1 + 0 = 1$：

对于 $1 + 1 = 1$：

在布尔代数中，重要的是要记住没有直接的机制来添加负数。这意味着布尔代数中没有直接的减法。减法实际上是“复合加法”。例如，4 - 2 等同于 4 + (-2)。

乘法（AND函数）

AND运算表示二进制数的布尔乘法。它产生两个二进制数的乘积，例如：

$\begin{aligned} 0 \cdot 0 &= 0 \\ 0 \cdot 1 &= 0 \\ 1 \cdot 0 &= 0 \\ 1 \cdot 1 &= 1 \\ \end{aligned}$

布尔AND运算可以通过AND门和串联开关触点来解释。

对于 $0 \cdot 0 = 0$：

对于 $0 \cdot 1 = 0$：

对于 $1 \cdot 0 = 0$：

对于 $1 \cdot 1 = 1$：

在布尔代数中，重要的是要记住没有直接的机制来进行两个数的除法。除法实际上是“复合乘法”。

布尔函数的简化
通过使用布尔定理和布尔定律，我们可以简化布尔表达式，从而减少实现所需的逻辑门数量。我们可以使用两种方法来简化布尔函数：

• 代数方法：使用恒等式（布尔定律）。
• 图形方法：使用卡诺图（Karnaugh Map）方法。

卡诺图方法比使用恒等式简化函数要容易得多。如果变量的数量为 $n$，那么卡诺图由 $2^n$ 个单元格组成，并且任何两行或两列的相邻单元格都不会有相同的值。